Как доказать, что $ n ( log_3 (n))^5 = O (n^{1.2}) $?

Question

Это домашнее задание из книги Уди Манбер. Любой намек был бы хорош :)

Я должен показать, что:

$ n ( log_3 (n))^5 = O (n^{1.2}) $

Я попытался использовать теорему 3.1 книги:

$ f (n)^c = o (a^{f (n)}) $ (для $ c> 0 $, $ a> 1 $)

Заменить:

$ ( log_3 (n))^5 = O (3^{ log_3 (n)}) = O (n) $

но $ n ( log_3 (n))^5 = o (n cdot n) = o (n^2) ne o (n^{1.2}) $

Спасибо за любую помощь.

Answer 1

Делаешь ли ты, но пусть $ a = (3^{0,2}) $ ... что должно это сделать, верно?

Причина того, что то, что вы сделали, не сработало, заключается в следующем. Большой, связанный не туго; В то время как логарифм к пятую-это действительно большие линейные функции, он также является большим ОН пятой корневой функции. Вам нужен этот более сильный результат (который вы также можете получить от теоремы), чтобы сделать то, что вы делаете.

Answer 2

Еще один способ подумать об этом более интуитивно, - увидеть, что главное, что вы должны показать, это то, что $ ( log_3 (n))^5 $ - это $ o (n^{0,2}) $, или, эквивалентно, что $ log_3 (n) $ - это $ o (n^{0,04}) $. Бревна всегда растут медленнее, чем любая постоянная сила N, независимо от того, насколько маленькой.

Если вы хотите формализовать последнее предложение, то вы можете использовать теорему 3 с достаточно маленькой $ alpha $, как упоминает @rang в комментарии к ответу @patrick87.