Arthetical 계층에서 $ \ 선택한 $를 이해하는 방법

Question

계산 이론에 대한 텍스트를 읽고 각 레벨 $ k $ 에서는 $ \ sigma_k $ 및 $ \ pi_k $ , 여기서 $ \ pi_k $ 은 다음과 같이 정의됩니다 :

$$ \ pi_k= co- \ sigma_k. $$

$ k= 0 $ 의 경우, 우리는 디지털 세트와 $ \ sigma_0=pi_0의 클래스를 가지고 있습니다. $ 및 $ k= 1 $ , $ \ sigma_1 $ 계산 가능 열거 형 (CE) 세트 및 $ \ pi_1 $ 의 클래스가 아닌 CE (Comply Enumerable Sets) ....

$ l (m_e) $ 은 머신 $ m_e $ 에 의해 인식 된 언어를 godel과 함께 표시합니다 숫자 $ e $ . 나는 다음 언어 $ e $ , 여기서,

$$ e={e | L (m_e)=sigma ^ * \} $$

i.e. $ e $ 은 모든 튜링 머신 코드 $ e $ 의 언어가 계산 가능하게 열거됩니다. 대각선 화 인수로 $ e $ 은 C.E. 이것은 다음을 의미합니다.

$$ e \ in \ pi_1. $$

그러나 $ e \ in \ pi_1 $ 이면 $ e= co-a $ 일부 $ a \ in \ sigma_1 $ \ sigma_1 $ ... 그러나 $ e $ 은 다음과 같습니다.

$$ \ overline {e}=\ {e | L (m_e)=sigma ^ *}} $$

(나는 추측한다) $ \ overline {e} $ 은 모든 튜링 머신의 언어 $ e $ $ e $ 분기 ... 그러나 $ \ {2} $ k ^ {2} $ , 즉 $ \ equiv_m k ^ k $ \ span>이므로 $ a $ 및 $ b $ 을 고려할 때, 우리는 $ a \ equiv_m b $ iff $ a \ leq_m b $ 및 $ b \ leq_m a $ < / span> 및 $ \ leq_m $ 은 다중 - 하나의 축소를 의미합니다 :

$$ \ overlinle {e} \ equiv_m k ^ k \ in \ sigma_2 $$

$ \ sigma_2 \ neq \ sigma_1 $ , $ \ overline {e} $ < / span>은 계산 가능하게 열정적이지 않습니다 ... 그러나 이것은 $ \ pi_1 $ 의 정의를 모순하지 않습니다. 세트는 C.E. ~을 빼앗아가는 것

나는 그 정의에 대한 나의 이해에 무언가를 놓치고 있다고 생각한다 ...

Answer 1

$ k $ $ l $ 은 $ \ pi_k $ 재귀 조건의 $ r $ 이있는 경우 $$ x \ longleftrightarrow \ forall y_1 \ \ forall y_2 \ cdots \ forall y_ {k-1} \ y_k \, r (x, y_1, \ ldots, y_k) $$ $ \ forall $ 및 $ \ / span> 사이의 정수파가 번갈아가됩니다.

$ k $ 은 동일한 정의가 작동하지만 마지막 quantifier는 $ \ forall $ : $$ x \ longleftrightarrow \ forall y_1 \ y_2 \ cdots \ y_ {k-1} \ forall y_k \, r (x, y_1, \ ldots, y_k) $$

예를 들어 모든 총 튜링 머신의 언어는 $ \ pi_2 $ 이후 $$ x \ \ mathsf {tot} \ longleftrightarrow \ forall y \ z \, \ text { "컴퓨터 $ x $ y $ z $ 단계"} $$

클래스 $ \ sigma_k $ 은 동일한 방식으로 정의되며 첫 번째 quantifier가 $ \ $ \ / span> $ \ forall $ .

$ \ sigma_k $ 에서 언어를 보완하는 경우 $ \ pi_k $ 에 하나씩 얻을 수 있습니다, 그 반대. 이것은 정량화에 대한 De Morgan의 법칙으로 인해 재귀 적 술어의 부정이 또한 재귀 적이기 때문입니다.

예를 들어 비 의 언어 - 토탈 튜링 머신은 $ \ sigma_2 $ 이후 $$ x \ \ mathsf {ntot} \ longleftrightarrow x \ notin \ mathsf {tot} \ longleftrightarrow \ Exergs y \ forall z \, \ text { "$ x $는 $ z $ 단계에서 입력 $ y $ 멈추지 않습니다. "} $$