算術階層における$ \ PICK $の定義を理解する方法

Question

計算性理論についてテキストを読み、テキストによると、各レベルの $ k $ 算術階層の2つのセット、 $ \ sigma_k $ と $ \ pi_k $ 。 $ \ pi_k $ は次のように定義されています。

$$ \ Pi_k= Co- \ Sigma_k $$

$ k= 0 $ の場合、 $ \ sigma_0=pi_0のクラスがあります。 $ 、および $ k= 1 $ の場合、 $ \ sigma_1 $ があります。計算可能に列挙型（CE）セットと $ \ pi_1 $ のクラスは、計算可能に列挙可能なセット（CE）....

let $ l（m_e）$ は、Machine $ m_e $ をTuringで認識した言語を示す番号 $ E $ 。私は次の言語に渡って $ e $ 、ここで：

$$ e={e | l（m_e）=sigma ^ * \} $$

すき。 $ E $ は、すべてのチューリングマシンコード $ e $ の言語です。これは、計算可能に列挙可能です。対角度化引数によって、 $ e $ はC.eであることを示すことができます。これは、次のことを意味します：

$$ e \ in \ pi_1 $$

ただし、 $ e \ in \ in \ in \ in \ in \ in \ in \ in \ in \ in \ in \ in \ in \ in \ in $ ex "$ E= CO-A $ 、 $ a \ in \ sigma_1 $ の場合、上記のステートメントの定義を使用して...しかし、 $ E $ は次のとおりです。

$$ \ overline {E}=overline {\ {e | l（m_e）=sigma ^ *}} $$

これは、 $ \ overline {e} $ <} $ は、すべてのチューリングマシンの言語です $ Eいくつかの入力に $ E $ が分岐するような$ は、 $であることが示されています。 \ overline {e} \ equiv_m ^ {2} $ 、つまり $ \ overline {E} \ equiv_m k ^ k $ 、 2つのセット $ A $ と $ b $ 、 $ a \ equiv_mb $ iff $ a \ leq_mb $ と $ b \ leq_m $ < / span>、および $ \ leq_m $ は、多対1の削減を指します：

$$ \ overline {E} \ equiv_m k ^ k \ in \ sigma_2 $$

$ \ sigma_2 \ neq \ sigma_1 $ のように見えます。 $ \ overline {e} $ < / SPAN>は計算可能に列挙できない...ではなく、CEの補数が述べていると述べていますが、これは $ \ pi_1 $ の定義に矛盾しません。セットはC.です。 ？

私は定義を理解していることに何か不足していると思います...

Answer 1

$ k $ でも、言語 $ l $ は $ \ pi_k $ が存在する場合は、再帰的な述語 $ r $ が存在する場合 $$ X \ LongleFtrightArrow \ forall y_1 \ envents y_2 \ cdots \ forall y_ {k-1} \ exists y_k \、r（x、y_1、\ ldots、y_k） $$ $ \ forall $ と $ \ exists $ 。

$ k $ が奇数のときは、同じ定義が機能しますが、最後の量子化子は $ \ forall $ ： $$ X \ LongleFtrightArrow \ forall y_1 \ enventsy_2 \ cdots \ envents y_ {k-1} \ forall y_k \、r（x、y_1、\ ldots、y_k） $$

たとえば、すべてのトータルチューリングマシンの言語は $ \ pi_2 $ です。 $$ \ in \ in \ mathsf {tot} \ longleftrightarrow \ forall y \ exists z \ esivent {machine $ x $ halts $ y $ $ y $ $ Z $ステップ "} $$

クラス $ \ sigma_k $ は同じように定義されていますが、最初の量子化は $ \ exists $ < / span> $ \ forall $ よりもむしろです。

$ \ sigma_k $ に言語を補完する場合は、 $ \ pi_k $ に1つあります。およびその逆。これは、定量化者のためのデルガンの法則、そして再帰的述語の否定も再帰的であることによるものです。

例えば、非の言語 $ \ sigma_2 $ です。 $$ X \ in \ mathsf {ntot} \ LongleFtrightArrow X \ Notin \ Mathsf {TOT} \ LongleFtrightArrow \ envent y \ forall z \、\ text {"machine $ x $ $ x $は$ Z $ステップ内で$ y $を停止しません"} $$