Comment prouver des propriétés sur une équivalence arithmétique modulaire spécifique

Question

Depuis que j'ai été présenté à l'arithmétique modulaire, j'ai eu des problèmes avec elle.Je pense qu'il utilise une partie de mon cerveau que je n'ai pas utilisé souvent.Quoi qu'il en soit, j'ai réfléchi à cette équivalence spécifique: $$ a ^ 3 \ equiv 5 \, (\ text {mod} 7) $$ Et j'ai un hunch qui no $ a $ existe s.t.Cette équivalence est vraie.Simulation, il est clair qu'il y a un motif: 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1, 1,6, 6, 0 ...

Mais je ne peux pas comprendre comment prouver formellement 1. Que ce modèle est le motif réel et comme une extension, 2. que l'équivalence ci-dessus ne tient pas (elle devrait être triviale si je peux prouver 1).

Quelqu'un peut-il aider?Merci beaucoup.

Answer 1

Vous pouvez le prouver en calculant la valeur de $ A ^ 3 \ bmod 7 $ pour $ A= 0, 1,2,3,4,5,6 $ ; Si aucun de ces rendements 5, vous avez prouvé la réclamation.

Pourquoi cela est-il suffisant? Eh bien, si $ a \ equiv b \ pmod 7 $ , alors $ A ^ 3 \ équivalez b ^ 3 \ pmod 7 $ . Donc, s'il y avait une solution à $ a ^ 3 \ équivalez 5 \ pmod 7 $ , alors vous pourriez prendre $ B= A \ bmod 7 $ , et ce serait une autre solution. Maintenant $ B $ est l'une des 0,1,2,3,4,5,6 $ , Nous avons donc prouvé que s'il y a une solution, l'une des 0,1,2,3,4,5,6 $ doit être une solution. Inversement, si aucun de 0,1,2,3,4,5,6 $ est une solution, il n'y a pas de solution que ce soit.

Pour le cas particulier de la quille (plutôt que de cubes), vous pourriez être intéressé par réciprocité quadratique , qui est une technique plus avancée qui permet de vérifier l'existence de solutions à une telle équation. Il y a aussi Réciprocité cubique , bien que je ne sois pas sûr de savoir si cela conduit à un algorithme efficace pour Vérifiez les solutions lorsque vous avez un cube au lieu d'un carré.