Échantillonnage à partir d'un ensemble de nombres avec une somme fixe

Question

Soit $ s = {x_1, x_2, ldots, x_n } $ un ensemble de $ n $ entiers non négatifs aléatoires où $ sum_i x_i = n $. Et que $ {y_1, y_2, ldots, y _ { sqrt {n}} } $ désigne un sous-ensemble de taille $ sqrt {n} $ de $ s $, choisi uniformément au hasard. Définir $ y $ pour être $ sum_i y_i $ Je suis intéressé à calculer la valeur de $ y $.

Par linéarité des attentes, je sais $ e [y] = sum_i e [y_i] = sqrt {n} $. Mais puis-je prouver avec une forte probabilité que $ y $ soit proche de sa moyenne?

J'ai essayé d'utiliser Cheroff Bound mais malheureusement depuis que $ x_i $ et donc $ y_i $ ne sont pas indépendants, je ne peux pas l'appliquer ici.

J'ai également essayé d'utiliser l'inégalité de Chebyshev car $ y_i $ semble être corrélé négativement, mais je ne peux pas calculer la variance de $ y_i $ et la preuve serait désordonnée même si je le fais.

Quelqu'un a-t-il une idée pour une preuve plus simple?