Diviser les bacs en segments

Question

Cela peut être une question avec une réponse bien connue, mais j'y réfléchis depuis deux jours, et je ne peux pas vraiment trouver une réponse satisfaisante.

Considérez le problème de la division des bacs $ PN $ numérotés de 1 $ à Pn $ en $ PM + 1 $ segments en plaçant $ pm $ balls. Si nous laissons $ k = pn - pm bmod pm + 1 $, alors nous pouvons montrer que nous pouvons atteindre un placement des balles $ pm $ telles qu'il y a exactement $ (pm + 1) - k $ segments de bacs vides de la longueur $ lfloor frac {pn-pm} {pm + 1} rfloor $ et $ k $ segments de bacs vides de la longueur $ lceil frac {pn-pm} {pm + 1} rceil $.

Voici la question délicate: pouvons-nous accomplir cette tâche tout en veillant à ce qu'il y ait exactement des balles $ m $ dans chaque intervalle $ [(j-1) n + 1, jn] $, pour $ j in {1, 2, points, p } $?

Chaque exemple concret que je travaille à travers des réponses dans l'affirmative, mais je n'arrive pas à obtenir une manière algorithmique de le faire, ou une preuve mathématique qu'il existe un de ces arrangements.

Pour des exemples particuliers, cela semble toujours fonctionner. Voir un exemple ci-dessous avec $ p = 2, $ n = 7, $ m = 2. $

1 | | X | | | X | 1 | x | | | X | | |

où 1 désigne le début d'une nouvelle «période», et | Indique le «mur» d'un bac, et X désigne une balle. Notez que 1 et | Les deux indiquent les «murs» de bacs.