Das Taubenlochprinzip in Schneidflugzeugen nachweisen

Question

Übung 3 von https://massimolauria.net/courses/2015.proofcomplexity/ less6.pdf

Betrachten Sie die Set von Ungleichheiten $ x_i + x_j \ leq1 $ für $ 1 \ leq i .

eine Ableitung von $ \ sum_ {i= 1} ^ n x_i \ leq 1 $ in $ o ( n ^ 2) $ länge.

Wenn es nur Algebra wäre, konnte ich nur mit dem Widerspruch zeigen, dass höchstens ein $ X_I $ 1 sein könnte und gemacht werden könnte, aber wie wird es in Schneidflugzeuge übersetzen Ps? Ich denke, eine ähnliche Idee wäre, indem ich $ \ sum_ {i= 1} ^ n x_i \ leq n-1 - (n-2) x_i $ für alle < Span-Klasse="Math-Container"> $ I $ Durch die Zugabe von $ x_i + x_j $ für alle $ 1 \ leq j \ leq n $ Aber ich bin dort stecken.

Danke für Ihre Hilfe.

Answer 1

der Beweis ist durch Induktion.Hier ist der induktive Schritt.

Angenommen, wir kennen beide der folgenden Ungleichheiten: $$ x_1 + \ CDs + x_m \ leq 1 \\ x_2 + \ CDs + x_ {m + 1} \ leq 1 $$ Füge sie hinzu, um zu bekommen $$ x_1 + 2x_2 + \ CDs + 2x_m + x_ {m + 1} \ leq 2 $$ Hinzufügen des Axioms $ x_1 + x_ {m + 1} \ leq 1 $ , um zu erhalten $$ 2x_1 + \ CDs + 2x_ {m + 1} \ leq 3 $$ Teilen Sie sich mit 2 und runden sie ab, um zu bekommen $$ x_1 + \ CDs + x_ {m + 1} \ leq 1 $$ Ich lasse Sie die verbleibenden Details ausfüllen.