Master-Theorem hier anwendbar?

Question

lass $ t (n):=beginnen {Hüllen} \ frac {2+ \ log n} {1+ \ Text {log} n} t (\ lfloor \ frac {n} {2} \ rfloor) + \ log ((n!) ^ {\ Log n}) & \ text {if} n> 1 \\ 1 & \ text {if} n= 1 \ end {cases} $

Ich muss beweisen, dass $ t (n) \ in o (n²) $ , somit $ t (n ) \ leq c \ cdot n² $

Ich habe die Frage gestellt hier und ich Ich habe das letzte Mal wirklich tolle Hilfe, die Sache ist, nachdem ich das letzte Mal gezeigt wurde, dass $ f (n)=log (n) \ cdot \ log (n!) $ ist $ \ theta (2 \ cdot \ log (n) \ cdot n)=theta (\ \ log (n) \ cdot n) $ Ich dachte, ich könnte Verwenden Sie dann den Master-Satz

Seitdem seit $ a=frac {2+ \ log n} {1+ \ log n} $ ist nicht konstant, ich kann den Master-Satz nicht verwenden Aber ich dachte, ich könnte eine obere Grenze für $ A $ verwenden, da $ \ frac {2+ \ log n} {1+ \ log n} <2 \ QUAD \ FORALL N $ und verwenden Sie den Master-Satz für $ a= 2 $ , $ B= 2 $ . Ich darf jedoch den Master-Satz verwenden, nachdem ich eine obere Grenze für den nicht-konstanten $ A $ gefunden habe?

Was würde andere Wege sollen, dass $ t (n)= o (n ^ 2) $ ?

Answer 1

ja, Sie können $ t '(n)= 2 t' (\ frac {n} {2}) + \ theta (n \ log n) $ , beachten Sie, dass $ t (n) \ le t '(n) $ , und verwenden Sie den Master-Satz auf $T '$ , um eine obere Grenze von $ o (n \ log ^ 2 n) $ auf $T $ .

Da für $ n \ ge 2 $ , $ \ frac {2+ \ log n} {1+ \log n} \ le \ frac {3} {2} $ Sie können eine bessere obere Grenze durch den Vergleich von $ T $ $$ T ''=beginnen {Hüllen} \ frac {3} {2} t '' (\ frac {n} {2}) + \ theta (n \ log n) & \ text {if $ n \ gE2 $} \\ \ theta (1) & \ text {sonst} \ end {cases}. $$ Anwenden des Master-Satzes auf $ T '$ Erträge und Obergrenze von $ o (n \ log n) $ für $ T $ .

Answer 2

Ja, Sie dürfen den Satz des Meisters auf den oberen Grenzen verwenden.

Definieren Sie formell s (n), einfach als Funktion, die die oberen Grenzgrenzen aufweist (die auf selbst rekursiv sind) und den Master-Satz auf S (n) verwenden.Sie wissen, dass S (n) für t (n) eingebunden ist (Sie können dies in der Induktion nachweisen, wenn Sie wirklich möchten) und wenn Sie dies zu zeigen, dass s (n)= o (n ² ) Dann auch t (n)= o (n 2 )

ich persönlich habe ich nie erklärt, warum es möglich ist, den Master-Satz an den oberen Grenzen zu verwenden, und ich habe noch nie gesehen, dass jemand versucht, es tatsächlich zu erklären (da Sie von der Erklärung gesehen haben, ist der Grund ziemlich unkompliziert)

Ich hoffe, ich habe es zu helfen: p