Разложить сложное матричное преобразование на серию простых преобразований?

Question

Интересно, возможно ли (и если да, то как) представить произвольное преобразование матрицы M3 как последовательность более простых преобразований (таких как перемещение, масштабирование, наклон, поворот)

Другими словами:как вычислить матрицы MTranslate, MScale, MRotate, MSkew из MComplex, чтобы следующее уравнение было верным:

MComplex = MTranslate * MScale * MRotate * MSkew (или в другом порядке)

Answer 1

Разложение по сингулярным значениям (смотрите также этот блог и это PDF).Он превращает произвольную матрицу в композицию из трех матриц:ортогональный + диагональ + ортогональный.Ортогональные матрицы являются матрицами вращения;диагональная матрица представляет перекос по основным осям = масштабирование.

Перевод вносит в игру непростую ситуацию, но вам следует удалить часть перевода из матрицы, чтобы у вас была матрица 3x3, запустить SVD для этого, чтобы получить вращение + наклон, а затем добавить часть перевода обратно. .Таким образом, у вас будет композиция вращения + масштабирования + вращения + перевода из 4 матриц.Вероятно, это можно сделать с помощью трех матриц (вращение + масштабирование по некоторому набору осей + перемещение), но я не уверен, как именно...возможно, QR-разложение (Q = ортогонально = вращение, но я не уверен, является ли R только косым или имеет вращательную часть.)

Answer 2

Да, но решение не будет уникальным.Также лучше поставить перевод в конце (порядок остального не имеет значения)

Для любой заданной квадратной матрицы A существует бесконечно много матриц B и C так что A = B*C.Выберите любую обратимую матрицу B (что означает, что B^-1 существует или det(B) != 0), и теперь C = B^-1*A.

Итак, для вашего решения сначала разложите MC в MT и MS*MR*MSk*I, выбирая MT в качестве некоторой обратимой матрицы транспонирования.Затем разложите остальное на MS и MR*MSk*I так что MS — произвольная матрица масштабирования.И так далее...

Теперь, если в конце веселья I это единичная матрица (с 1 по диагонали и 0 в других местах), все в порядке.Если это не так, начните сначала, но выберите другие матрицы ;-)

Фактически, символически используя описанный выше метод, вы можете создать набор уравнений, которые дадут вам параметризованные формулы для всех этих матриц.

Насколько вам были бы полезны эти разложения, ну – это уже другая история.

Если вы введете это в Математика или Максима они быстро рассчитают это для вас.