Сложность игры «камней»

Question

Я пытаюсь найти класс сложности поиска стратегии победы для первого игрока в следующей игре:

Интенсивность игры «камней» есть:

• конечный набор $ x $
• отношение $ r subteq x^3 $
• Установите $ y subteq x $ и узел $ f in x $

На более началом мы помещаем камень в каждый элемент $ y $. Каждый игрок, в свою очередь, может переместить камень от $ x $ в $ z $ iff. $ существует yr (x, y, z) wedge y имеет stone in in it $. Игрок, который помещает камень в $ f $ выигрывает.

Я думаю, что это $ Pspace-Complete $, но я пытался пробудить это в течение некоторого времени, и у меня кончались идеи.

Я не буду лгать, это домашнее задание для моего класса сложности. Любая помощь будет высоко оценена.

Answer 1

Игра на самом деле является экземпляром Двухсеро-переносные гальки, как указал @hendrikjan, и, как таковой, доказал, что это $ exptime-complete $. Ниже приводится резюме, основанное на доказательстве Касаи, Адачи и Иваты в Sicomp 8 (4).

Для начала, совершенно очевидно, что игра находится в $ Exptime $ - мы можем просто проверить все возможные игры и посмотреть, есть ли стратегия победы. Чтобы PROVE, это $ exptime-hard $ немного сложнее.

Сначала нам нужно знать понятие о Чередующиеся машины Тьюринга (или банкоматы для короткого). Мы еще больше подчеркнем определение, чтобы стать так называемым стандартный банкомат:

Мы говорим, что банкомат $ M $ - это стандартный если

1. $ M $ имеет только одну рабочую ленту с головой, инициализированной к первой ячейке ленты,
2. Если конфигурация $ c $ of $ m $ является экзистенциальной (универсальной), то каждая конфигурация $ c ' in next_m (c) $ является универсальной (экзистенциальной),
3. Первоначальное состояние является экзистенциальным, и государство принятия универсально, и
4. $ Next_m (c) = ummentset $, если и только тогда, когда $ c $ является принимающей конфигурацией.

Где $ next_m (c) $ deontes набор возможных конфигураций после одного хода, начиная с конфигурации $ c $

Теперь пришли два важных леммах, доказанных Чандрой, Козен и Стокмейлером в Журнал ACM 28 (1):

---

Лемма 1

На каждый $ s (n) geq log (n) $, если $ l in aspace (s (n)) $, то $ l $ принимается стандартный Банкомат в пространстве $ S (n) $.

---

Лемма 2

$ Exptime = apspace $

---

Имея в виду эти два, теперь мы видим, что, учитывая стандартный атм $ m = (q, sigma, gamma, delta, b, q_1, q_a, u) $ так, что только $ p (n) $ ячейки Доступно на рабочей ленте для некоторой полиномиальной $ p $ в $ n $, и слово $ w = w_1 w_2 ... w_n $, нам нужно построить в логарифмическом пространстве, экземпляр игры Pebbles $ g $, что, что $ w $ принимается $ m $ iff. Первый игрок имеет стратегию победы в $ G $.

Для этого нам понадобится

1. набор полей $ x $, состоящий из

   • Поля, представляющие состояние рабочей ленты ($ {1..p (n) } times gamma $)
   • Поля, представляющие текущее состояние машины и его головы ($ q times {1..n } times {1..p (n) } $)
   • Поля, представляющие переходы рабочей ленты ($ Q times {1..n } times {1..p (n) } times gamma^2) $
   • Три дополнительных поля $ s_1, s_2, t $, чтобы убедиться, что правильный игрок выигрывает игру

2. Установите $ r $ правил, которые переводит $ delta $ в нашу игру:

   • Для каждого элемента $ q times {1..n } times {1..p (n) } $ if $ delta (q, w_i, a) $ содержит $ (q ', a' , (d ', d' ')), a neq a' $, тогда этот переход может быть закодирован со следующими правилами:
     • $ ([q, i, l], [l, a], [q, i, l, a, a ']) $
     • $ ([l, a], [q, i, l, a, a '], [l, a']) $
     • $ ([q, i, l, a, a '], [l, a'], [q, i+d ', l+d' ']) $
   • Для каждого элемента $ q times {1..n } times {1..p (n) } $ if $ delta (q, w_i, a) $ содержит $ (q ', a, (d ', d' ')) $ Нам нужно только одно правило:
     • $ ([q, i, l], [l, a], [q, i+d ', l+d' ']) $
   • Наконец, нам нужно иметь правила «финишеров игры»:
     • Для каждого $ i $ и $ l $ должно быть правило $ ([q_a, i, l], s_1, s_2) $
     • Мы также добавляем правило $ (s_2, s_1, t) $

3. И для правильного запуска игры нам нужен набор $ s = {[Q_1,1,1], S_1 } Cup {[l, b] | 1 leq l leq p (n) } $, что обозначает, что мы в состоянии начального, обе головы находятся на начале кассет, а рабочая лента пуста.

Исходя из этого, доказательство того факта, что $ w $ принимается $ m $ iff. У первого игрока есть стратегия победы в $ G $, должна быть довольно простым.