O que há de errado com essa "prova" que $ \ mathbb {r} $ é enumerável?
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29-09-2020 - |
Pergunta
a prova falsa:
- sabemos que $ \ mathbb {r} $ é incontável, portanto, não podemos enumerar sobre ele.
- Mas o que sabemos é que $ \ mathbb {} $ , o conjunto de racionais, é contável e até mesmo denumerável.
- Nós também sabemos que podemos construir $ \ mathbb {r} $ através do que são chamados de cortes de Dedekind.
- optamos por deixar a própria partição denotar um novo número e sair para definir operações matemáticas sobre como ser compatível com o restante dos números (principalmente $ \ mathbb {q } $ e nosso novo número $ x $ )
Sidenote: Eu acho que até agora isso é padrão e não contém nada falso. O argumento real começa abaixo desta linha.
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Deixe-nos denotar o conjunto contendo $ x $ como $ s_1:=mathbb {q} \ copo \ {x \} $ . Por conveniência, o sobrescrito da $ s_1 $ é quantos novos números tais adicionamos através dos cortes.
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desde $ \ mathbb {q} $ é contável, podemos enumerar sobre cada racional $ Q \ in \ mathbb {q} $ para produzir uma $ r \ in \ mathbb {r} $ . Faça este processo $ n $ vezes e você acaba com $ s_n=mathbb {q} \ cope {x_1} \ copo {x_2} \ cope \ dots \ cope {x_n} $ .
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mas $ s_n $ também é enumerável, pois tem um finito mais elementos do que $ \ mathbb {q } $ .
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portanto - depois de enumerar sobre a totalidade da $ \ mathbb {} $ - começar enumerando sobre a totalidade da $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $
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Agora vamos acabar com números ainda mais novos para colocar em nosso conjunto, que agora vamos chamar $ s_ {n= | \ mathbb {n} |, k } $ onde $ n $ representa a enumeração sobre $ \ mathbb {q} $ e $ k $ representa a enumeração sobre $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {} $ . Faça este AD Infinitum e você eventualmente descreverá $ \ mathbb {r} $ .
Eu sei que dei errado em algum lugar, eu simplesmente não sei onde.
Solução
."Faça este anúncio Infinitum e você eventualmente descreverá $ \ mathbb {r} $ ."
O "Ad infinitum" leva incontrabsável muitas etapas para serem concluídas.