Como provar propriedades sobre uma equivalência aritmética modular específica

Question

Desde que fui apresentado à aritmética modular, tive alguns problemas com isso.Eu acho que isso usa uma parte do meu cérebro que eu não usei com frequência.De qualquer forma, estive pensando nessa equivalência específica: $$ a ^ 3 \ equiv 5 \, (\ text {mod} 7) $$ E eu tenho um palpite que não $ a $ existe s.t.Essa equivalência é verdadeira.Simulando, é claro que há um padrão: 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1,6, 6, 0 ...

Mas não consigo descobrir formalmente 1. Que este padrão é o padrão real e como uma extensão, 2. que a equivalência acima não é válida (deve ser trivial se eu puder provar 1).

Alguém pode ajudar?Muito obrigado.

Answer 1

Você pode comprová-lo calculando o valor de $ a ^ 3 \ bmod 7 $ para $ a= 0, 1,2,3,4,5,6 $ ; Se nenhum desses rendimentos 5, então você provou a reivindicação.

Por que isso é suficiente? Bem, se $ a \ equiv b \ pmod 7 $ , então $ a ^ 3 \ equiv b ^ 3 \ pmod 7 $ . Então, se houvesse qualquer solução para $ a ^ 3 \ equiv 5 \ pmod 7 $ , então você pode levar $ B= A \ bmod 7 $ , e essa seria outra solução. Agora $ b $ é uma das $ 0,1,2,3,4,5,6 $ , Então, provamos que, se houver alguma solução, uma das $ 0,1,2,3,4,5,6 $ deve ser uma solução. Por outro lado, se nenhum dos $ 0,1,2,3,4,5,6 $ é uma solução, então não há solução alguma.

Para o caso especial de quadratura (em vez de cubos), você pode estar interessado em reciprocidade quadrática , que é uma técnica mais avançada que permite verificar a existência de soluções para tal equação. Há também reciprocidade cúbica , embora eu não tenho certeza se leva a um algoritmo eficiente para Verifique se há soluções quando você tem um cubo em vez de um quadrado.