言語が与えられたサイズの言葉を持っているかどうかを決める

Question

$ l $ が、アルファベット $ \ sigma $ を介した言語であるとします。私は以下の言語が決定可能であることを示すように頼まれました：

$$ l '={w \ in \ sigma ^ * \ text {L \ text {そのようなもの} | w '} \ LEQ | W | $$

IE、 $ w \ $ $ l $ の長さが小さい単語を持つ $ | w | $ 。

$ l \ cap \ sigma ^ {| w | $ は有限で、 $（L \ cap \ sigma）\ cup（L \ cap \ sigma ^ 2）\ cup \ ldots \ cup（l \ cap \ sigma ^ {| w |}）$ は有限したがって決定できます。しかし、私が苦労している主なことは、 $ L '$ のためのアルゴリズムのどんなアルゴリズムでも、l $ u \ u \ in l $ ？これは未定であるため、 $ l '$ のアルゴリズムが実際にあることを確認することができますが、実際には $ l $

Answer 1

2つのケースがあります：

1. $ l $ は空です。この場合、 $ L '=eAPTYSET $ は簡単な決定可能です。
2. $ l $ は空ではありません。 $ m $ を $ l $ の最小長さになります。その後、 $ L '$ x は、少なくとも $ m $ のすべての単語で構成されており、再び本意的に決定できます。 （一定時間で！）

わかるように、必ず $ l $ のアルゴリズムが必要です。

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同様に、次の言語は常に決められます。

$$ L ''={w \ in \ sigma ^ * \ mid \ text {$ wの$ wの$ wの$ wの$ w '$ | w'を存在する| .. \ GEQ | w | $} \} $$

これで3つのケースがあります：

1. $ l $ は空です。この場合、 $ l ''=afthyset $ は簡単に決定できます。
2. $ l $ は無限です。この場合、 $ l ''=sigma ^ * $ は再びTriviall Decidableです。
3. $ l $ は有限です。 $ m $ の最大長は、 $ l $ の単語の最大長です。その後、 $ l '' $ は、 $ m $ の長さのすべての単語で構成されています。決定可能な（一定時間）。

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これらは、嫌いではない非建設的な証明の例です。ここで議論を始める代わりに、この質問