MathematicaのBiharmonic方程式の解決
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26-10-2019 - |
質問
Dsolveを使用して、Mathematicaの線形バイハーモニック方程式を解決しようとしています。この問題は、バイハーモニー方程式だけでなく、Mathematicaがそれを解決しようとするときに方程式を吐き出すだけです。
私は他の部分的な微分方程式を解決しようとしましたが、問題はありませんでした。
バイアーモニック方程式は次のとおりです。
Laplacian^2[f]=0
これが私の方程式です:
DSolve[
D[f[x, y], {x, 4}] + 2 D[D[f[x, y], {x, 2}, {y, 2}]] +
D[f[x, y], {y, 4}] == 0,
f,
{x, y}]
解決策は吐き出されます
DSolve[(f^(0,4))[x,y]+2 (f^(2,2))[x,y]+(f^(4,0))[x,y]==0,f,{x,y}]
それは明らかに解決策ではありません。何が与えるのですか?何が足りないの?境界条件なしで他のPDEを解決しました。
解決
極座標で試してみませんか?もしも f(r, \[Theta])
方位角に関して対称です \[Theta]
, 、バイハーモニー方程式は、Mathematcaが象徴的に解決できるものに減少します(CF http://mathworld.wolfram.com/biharmonicequation.html):
In[22]:= eq = D[r D[D[r D[f[r],r],r]/r,r],r]/r;
eq//FullSimplify//TraditionalForm
Out[23]//TraditionalForm= f^(4)(r) + (2 r^2 f^(3)(r) - r f''(r)
+ f'(r))/r^3
In[24]:= DSolve[eq==0,f,r]
Out[24]= {{f -> Function[{r},
1/2 r^2 C[2] - 1/4 r^2 C[3] + C[4] + C[1] Log[r]
+ 1/2 r^2 C[3] Log[r]
]}}
In[25]:= ReplaceAll[
1/2 r^2 C[2]-1/4 r^2 C[3]+C[4]+C[1] Log[r]+1/2 r^2 C[3] Log[r],
r->Sqrt[x^2+y^2]
]
Out[25]= 1/2 (x^2+y^2) C[2]-1/4 (x^2+y^2) C[3]+C[4]+C[1] Log[Sqrt[x^2+y^2]]+
1/2 (x^2+y^2) C[3] Log[Sqrt[x^2+y^2]]
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