格子は何に使用されていますか？

Question

ウィキペディア 言う:

数学とコンピューターサイエンスの多くのアプリケーションに完全な格子が表示されます

計算で使用される標準的なブール代数が完全な格子であるという事実に言及しているだけですか？特にブールロジックを使用するのではなく、格子の抽象レベルで作業することで得られるものはありますか？

Googleの検索ではこのテーマにはあまり見つかりませんが、おそらく間違ったキーワードを使用しています。

Answer 1

たとえば、この本を参照してください： アプリケーションを使用した格子理論、Vijay K. Garg, 、次のように始まります：

部分的な順序と格子理論は、現在、コンピューターサイエンスとエンジニアリングの多くの分野で重要な役割を果たしています。たとえば、分散コンピューティング（ベクトルクロック、グローバル述語検出）、並行性理論（ポメット、発生ネット）、プログラミング言語セマンティクス（固定点セマンティクス）、およびデータマイニング（概念分析）にアプリケーションがあります。また、組み合わせ、数の理論、グループ理論などの数学の他の分野でも役立ちます。この本では、コンピューターサイエンスのアプリケーションとともに、部分秩序理論で重要な結果を紹介します。本のバイアスは、格子理論（アルゴリズム）の計算面とアプリケーション（特に分散システム）に関するものです。

この本は、再帰理論（計算可能なセットの理論）に言及しているようには見えませんが、ウィキペディアの記事から 計算可能性理論, 、 私たちは見る：

Postが、無限のREセットを含んでいない無限の補体を持つREセットとして単純なセットの概念を定義したとき、彼は包含下で再帰的に列挙可能なセットの構造を研究し始めました。この格子はよく研究された構造になりました。再帰セットは、セットとその補数が両方とも再帰的に列挙可能である場合にのみ、セットが再帰的であるという基本的な結果によって、この構造で定義できます。無限のREセットには、常に無限の再帰サブセットがあります。しかし、一方では、単純なセットが存在しますが、コンスフィニットの再帰的なスーパーセットはありません。 POST（1944）は、すでにhyperSimpleおよびHyperhyperSimpleセットを導入しました。後の最大セットが構築されました。これは、すべてのREスーパーセットが与えられた最大セットの有限バリアントであるか、共同能力であるようにするためです。この格子の研究における投稿の元の動機は、この特性を満たすすべてのセットが再帰セットのチューリング程度でも、停止問題のチューリング程度でもないような構造的概念を見つけることでした。 Postはそのようなプロパティを見つけられず、彼の問題の解決策は代わりに優先度を適用しました。 Harrington and Soare（1991）は、最終的にそのような財産を見つけました。

さらに読んで、ブログ投稿を参照してください プログラマーと非コンピューター科学者向けの格子理論.

Answer 2

PålGDによって与えられた参照は、実際に非常に適切です。代わりに、この答えの小さな側面の問題に焦点を当てましょう。私はしばらく前に格子を読んで、半latticeの概念がアプリケーションにこれ以上適切ではなかったかどうか疑問に思い始めました。完全な半格子は自動的にも格子であることに反対するかもしれませんが、同性愛と下部構造（つまり、副腎とサブサイラット）は異なることに反対するかもしれません。

私は最初に、通勤の等程度の半群として半グループを研究するときに（セミ）格子に遭遇しました。それから私は階層構造と格子との関係について考え、木が自然に半間であることに気付きました。それから、セキュリティのコンテキストとプログラム分析で格子が見つかりましたが、半間の構造が非常に重要な部分であるように、常に「無料で」得られるので格子が撮影されたように見えました。代数であっても、結合と分離の間に非対称性があり、非対称半間のモデルが対称格子モデルよりも多くの洞察を提供する可能性があることを示唆しています。

Answer 3

非常に重要ではあるがそれほど有名ではないケース - 神学者の間ではよく知られていますが、学部生に教えられているという意味ではあまり知られていません。格子の使用は証明することです。 単調な回路のサイズのスーパーポリノミアの下限コンピューティングクリーク そのため ラズボロフ 勝った ネヴァンリンナ賞. 。しかし、元の構造は非常に技術的であり、後の構造など バーグ/ウルフバーグ 格子を参照せずにフレームワークを簡素化します。

したがって、この場合、格子理論は元の証明を発見するためのフレームワークとして使用されましたが、後の定式化は概念的単純化と直接言及しない傾向がありました。

したがって、はいlatticesは、よりエキゾチックな数学的オブジェクトと見なされるかもしれません[Razborovは、CSの他のより「具体的な」オブジェクトに対応するかもしれない高度な数学をCSに適用する彼のスタイルについて他の場所で話しました）、この場合、それは「近似ゲート」ですつまり、「ほぼ正しい」回答を与える回路のブールゲートであり、格子は正確な回路間を不正確な概算回路に変換するための一種の「誘導構造」です。

Answer 4

それ以来、私は無料の紙を見つけました 注文されたセットと完全な格子：コンピューターサイエンスの入門書, 、他の興味のある読者のために。

Answer 5

通常のエッジのラベル付けと関連構造は分布格子を形成します（たとえば ここ）。これは、特定のグラフのすべての通常のエッジラベリングの空間を効率的に検索するために活用できます（参照 ここ）。アプリケーションとして、マップを次のように描画できるかどうかを判断できます カートグラム 顔の特定のエリアの割り当てがあります。

Answer 6

また、驚くべきことに（少なくとも私にとって） 暗号化. 。それをチェックしてください、それは既知の暗号システムの新しい攻撃を許可し、Quantumを含む暗号化後の暗号化への希望を与えます。