TSPに減少する連続最適化問題

Question

平面に有限のポイントセット$ p_1、p_2、.. p_n $が与えられているとし、$ p_i $を介して2回拡散性の曲線$ c（p）$を描画するように求められます。できるだけ小さい。 $ p_i =（x_i、y_i）$および$ x_iを仮定します

問題1（Sureshのコメントに応じて編集） $ c^2 $ $ x（t）、y（t）$ of a parameter $ t $を決定する$ l = int _ {[t in 0,1]} sqrt {x '^2 +y '^2} dt $は最小化され、$ x（0）= x_1、x（1）= x_n $で、すべての$ t_i：x（t_i）= x_i $で、$ y（t_i）= y_iがあります）$。

問題1がNPハードであることを証明する（またはおそらく反論する）方法は？

なぜ私はnp-hardnessを疑います $ c^2 $の仮定が緩和されているとします。明らかに、最小限のarclengthの機能は、$ P_I $の巡回セールスマンツアーです。おそらく、$ c^2 $制約は問題をはるかに難しくするだけでしょうか？

コンテクスト この問題のバリアントが投稿されました mse. 。それはそことオンの両方で答えを受け取りませんでした MO. 。問題を解決することは自明でないことを考えると、それがどれほど難しいかを確立したいと思います。

Answer 1

差別化可能性要件は問題の性質を変えません：$ mathcal {c}^0 $（continuity）または$ mathcal {c}^{ inftty} $（無限差別化可能性）が必要です。長さと同じポイントの順序であり、旅行セールスマンの問題を解決することに相当します。

TSPの解決策がある場合、すべてのポイントを通過する$ mathcal {c}^0 $曲線があります。逆に、すべてのポイントを通過する有限長の$ mathcal {c}^0 $曲線があり、$ p _ { sigma（1）}、 ldots、p _ { sigma（n）} $ポイントと$ t_1、 ldots、t_n $を通過する順序であり、対応するパラメーター（曲線がポイントを複数回横断する場合、$ t $の可能な値を選択します）。次に、$ n $ segments $ [p _ { sigma（1）}、p _ { sigma（2）}]、 ldots、[p _ { sigma（n-1）}、p _ { sigma（ n）}]、[p _ { sigma（n）}、p _ { sigma（1）}] $は短くなります。これは、各セグメントの直線がポイントを接続する他の曲線よりも短いためです。したがって、ポイントのすべての順序について、最良の曲線はTSPソリューションであり、TSPソリューションはポイントの最適な順序を提供します。

ここで、曲線を$ mathcal {c}^{ infty} $（または$ mathcal {c}^k $）にする必要があることを示しましょう。総長さ$ ell $および$ epsilon> 0 $の任意のTSPソリューションの場合、すべてのコーナーを丸めることができます。最大の長さの$ ell + epsilon $（明示的な構造は、代数関数と$ e^{-1/t^2} $に依存して定義します。 バンプ関数 そして、$ e^{1-1/x^2}（xe^{-1/（1-x）^2}）$などの曲線セグメント間の滑らかな接続から、$ xで$ y = 0 $に接続します。 = 0 $および$ y = x $ at $ x = 1 $;これらを明示的にするのは退屈ですが、計算可能です）;したがって、$ mathcal {c}^{ infty} $曲線の下限は、セグメントのコレクションと同じです（下限には一般的には到達されないことに注意してください）。