Quali sono reticoli utilizzati per?

Question

dice :

reticoli complete appaiono in molte applicazioni in matematica ed informatica

E 'solo riferiva al fatto che l'algebra di Boole standard utilizzato in calcolo è un reticolo completo? C'è qualcosa che guadagno lavorando a livello astratto di reticoli invece che con logica booleana particolare?

Una ricerca su google non trova molto su questo argomento, ma sto probabilmente utilizzando le parole chiave sbagliate.

Answer 1

Si veda ad esempio questo libro: Lattice Theory con le applicazioni, Vijay K . Garg , che inizia come segue:

ordine parziale e teoria dei reticoli oggi svolgono un ruolo importante in molte discipline di informatica e l'ingegneria. Ad esempio, hanno applicazioni in calcolo distribuito (orologi vettoriali, rilevamento globale predicato), teoria della concorrenza (pomsets, reti di occorrenza), linguaggio di programmazione semantica (semantica punto fisso), e data mining (analisi concetto). Sono anche utili in altri discipline della matematica quali combinatoria, la teoria dei numeri e teoria dei gruppi. In questo libro, Mi presento importanti risultati nella teoria ordine parziale con le loro applicazioni in informatica scienza. La polarizzazione del libro è sugli aspetti computazionali della teoria dei reticoli (algoritmi) e sulle applicazioni (esp. Sistemi distribuiti).

Il libro non sembra parlare di teoria della ricorsione (teoria degli insiemi computabili), ma dall'articolo di Wikipedia su computabilità , vediamo:

Quando Messaggio definito il concetto di un insieme semplice come una R.E. set con un complemento infinito non contenente alcun R.E. infinita set, ha iniziato a studiare la struttura dei set ricorsivamente enumerabili sotto inclusione. Questo reticolo è diventato una struttura ben studiato. insiemi ricorsivi possono essere definiti in questa struttura per il risultato di base che un insieme è ricorsivo se e solo se l'insieme e il suo complemento sono entrambi ricorsivamente enumerabile. R.E. Infinite insiemi hanno sottoinsiemi ricorsive sempre infinite; ma d'altra parte, gli insiemi semplici esistere, ma non hanno un superset ricorsiva coinfinite. Post (1944) ha introdotto già set hypersimple e hyperhypersimple; dopo insiemi massimali sono stati costruiti che sono R.E. imposta tale che ogni R.E. sovrainsieme è o una variante finita del dato insieme massimo o è co-finite. motivazione originale del Messaggio per lo studio di questo reticolo era quello di trovare un concetto strutturale tale che ogni insieme che soddisfa questa struttura non è né nel grado di Turing dei set ricorsive né nel grado di Turing del problema della terminazione. Post non è riuscito a tale proprietà e la soluzione al suo problema applicare metodi di priorità, invece; Harrington e Soare (1991) hanno trovato finalmente una tale proprietà.

Ulteriori letture, vedere il post sul blog Lattice Theory per i programmatori e non Computer scienziati .

Answer 2

I riferimenti forniti da Pål GD sono davvero molto appropriato. Quindi cerchiamo di concentrarsi su una questione secondaria minore in questa risposta, invece. Ho fatto qualche lettura su reticoli qualche tempo fa, e ha iniziato a chiedersi se la nozione di semilattice non sarebbe stato più appropriato per le applicazioni. Si potrebbe obiettare che un completo semi-reticolo è automaticamente anche un reticolo, ma le omomorfismi e sottostrutture (cioè sottoreticoli e subsemilattices) sono diversi.

Il mio primo incontro (semi-) reticoli quando si studia semigruppi, come i semigruppi idempotenti commutativa. Poi ho pensato alla relazione tra le strutture gerarchiche e reticoli, e ho notato che un albero è naturalmente anche una semilattice. Poi ho trovato reticoli in contesti di protezione e nell'analisi del programma, e sempre mi sembrava come la struttura semilattice era la parte veramente importante, e il reticolo è stato appena preso perché poteva essere ottenuto "gratis". Anche per un algebra Heyting, v'è un'asimmetria tra congiunzione e disgiunzione, che mi suggerisce che il modello semilattice asimmetrica potrebbe fornire un quadro più chiaro qui che il modello reticolare simmetrica.

Answer 3

caso per caso, è molto importante, ma non così famoso è ben noto tra i teorici, ma non così ben noto nel senso di essere insegnato a studenti-dell'uso di un reticolo è quello di dimostrare superpolynomial limiti inferiori sulle dimensioni dei circuiti monotone calcolo Clique per i quali Razborov vinto il Nevanlinna premio . la costruzione originale è molto tecnico e comunque entro costruzioni es Berg / Ulfberg semplificare il quadro senza riferimento a reticoli.

Quindi, in questa teoria caso reticolo è stato utilizzato come un quadro per scoprire la prova originale, ma le formulazioni successive tendeva a non fare riferimento ad esso direttamente come una semplificazione concettuale.

Quindi sì reticoli possono essere considerate come un oggetto matematico più esotico [Razborov ha parlato altrove del suo stile di applicare matematica avanzata al CS] che potrebbe corrispondere a qualche altro più oggetto "concreto" di CS, in questo caso è " cancelli approssimazione" cioè booleane porte in circuiti che danno 'approssimativamente corrette' risposte e che il reticolo è una sorta di 'struttura induzione' per la conversione tra un circuito esatta di un'inesatta, circuito approssimativa.

Answer 4

Da allora ho trovato la carta libera insiemi ordinati e completa Griglie:. a Primer for Computer Science , per gli altri lettori interessati

Answer 5

etichettature dei bordi regolari e strutture correlate formano un reticolo distributivo (vedi ad esempio qui ). Questo può essere sfruttato per la ricerca in modo efficiente attraverso lo spazio di tutte le etichettature dei bordi regolari per un determinato grafico (vedi qui ). Come applicazione è possibile determinare se una mappa può essere disegnato come cartogram con una certa assegnazione area per il volti.

Answer 6

Inoltre, a sorpresa (per me, almeno) crittografia . Check it out, permette nuovi attacchi di sistemi crittografici noti e dà speranze per la crittografia quantistica post-computing.