Comprendre la fonction de croissance des intervalles fermés en $ \ mathbb {r} $

Question

I Étudiez VCDimensions et fonctions de croissance et a trouvé l'exemple suivant sur Wikipedia :

Le domaine est le vrai comme $ \ mathbb {r} $ . L'ensemble H contient tous les intervalles réels, c'est-à-dire, tous les ensembles de formulaire $ \ {c \ in [x_1, x_2] | x \ in \ in \ mathbb {r} \} $ pour certains $ x_ {0, 1} \ in \ mathbb {r} $

pour tout ensemble C de m de m de m de m, l'intersection $ h \ cap c $ contient tous exécutions compris entre 0 et M consécutif Éléments de C. Le nombre de telles exécutions de $ {m + 1 \ choisit 2} + 1 $ , donc croissance (h, m)= $ {m + 1 \ choisissez 2} + 1 $ .

Quelqu'un peut-il s'il vous plaît m'expliquer ce que le terme "tous entre 0 et m" se réfère ici et pourquoi la fonction de croissance est $ {m + 1 \ choisit 2} + 1 $ et pas $ {m + 1 \ choisissez 2} $ ?

Merci beaucoup!

Answer 1

laisser les nombres réels être $ r_1 <\ CDOT .L'intersection $ h \ cap c $ pourrait être de la forme $ \ {r_i, \ ldots, r_j \} $ POUR $ 1 \ LEQ I \ LEQ J \ LEQ M $ ou vide.Il y a $ \ binom {m + 1} {2} $ du premier type, et $ 1 $ du deuxième type.

Par exemple, si $ m= 1 $ alors les intersections possibles sont $$ \ EktySet, \ {r_1 \}, $$ Si M= 2 $ Les intersections possibles sont $$ \ EktySet, \ {r_1 \}, \ {r_2 \}, \ {r_1, r_2 \}, $$ et si $ m= 3 $ alors les intersections possibles sont $$ \ Ektyset, \ {r_1 \}, \ {r_2 \}, \ {r_3 \}, \ {r_1, r_2 \ \}, \ {r_2, r_3 \}, \{R_1, R_2, R_3 \}.$$