Quel est le problème avec cette "preuve" que $ \ mathbb {r} $ est énumérable?
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29-09-2020 - |
Question
la fausse preuve:
- Nous savons que $ \ mathbb {r} $ est indénitable, par conséquent, nous ne pouvons donc pas énumérer dessus.
- Mais ce que nous savons, c'est que $ \ mathbb {q} $ , l'ensemble des rationnels, est dénombrable et même dénuerable.
- Nous savons aussi que nous pouvons construire $ \ mathbb {r} $ à travers ce qu'on appelle DEDEKIND CUTS.
- Nous choisissons de laisser la partition elle-même désignant un nouveau numéro et de définir des opérations mathématiques sur celui-ci de manière à être compatible avec le reste des chiffres (principalement $ \ mathbb {q } $ et notre nouveau numéro $ x $ )
sidenote: Je pense que jusqu'à présent c'est standard et ne contient rien de faux. L'argument réel commence ci-dessous cette ligne.
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indiquons l'ensemble contenant $ x $ comme $ s_1:=mathbb {q} \ Coupe \ {x \} $ . Pour la commodité, le SuperScript de $ S_1 $ est le nombre de nouveaux numéros de ce type que nous avons ajouté à travers les coupes.
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depuis $ \ mathbb {q} $ est comptable, nous pouvons énumérer sur chaque logement rationnel q \ in \ mathbb {q} $ pour produire une $ r \ in \ mathbb {r} $ . Faites ce processus $ n $ fois et vous vous retrouvez avec $ s_n=mathbb {q} \ tasse {x_1} \ tasse {x_2} \ tasse \ dots \ tasse {x_n} $ .
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mais $ s_n $ est également énumérable car il a un plus d'éléments finis que $ \ mathbb {q } $ .
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Par conséquent, après avoir énuméré sur l'intégralité de $ \ mathbb {q} $ - commencer à énumérer sur l'intégralité de $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ seminus \ mathbb {q} $
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Nous finirons maintenant avec des chiffres encore plus récents à mettre dans notre ensemble, que nous allons maintenant appeler $ s_ {n= | \ mathbb {n} |, k } $ où $ n $ représente l'énumération sur $ \ mathbb {q} $ et $ k $ représente l'énumération sur $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $ $ . Faites cette annonce infinitum et vous allez éventuellement décrire $ \ mathbb {r} $ .
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Je sais que je me suis trompé quelque part, je ne sais tout simplement pas où.
La solution
"Faites cette annonce infinitum et vous allez éventuellement décrire $ \ mathbb {r} $
." "
Le "public infinitum" prend inconnue de nombreuses étapes à suivre.