¿Master teorema aplicable aquí?

Question

deja $ t (n):=comienzan {casos} \ frac {2+ \ log n} {1+ \ texto {log} n} t (\ lfloor \ frac {n} {2} \ rfloor) + \ log ((n!) ^ {\ Log n}) & \ texto {if} n> 1 \\ 1 & \ texto {if} n= 1 \ End {casos} $

Necesito probar que $ t (n) \ in o (n²) $ , así $ t (n ) \ leq c \ cdot n² $

Le hice la pregunta aquí y yo Tengo una gran ayuda de la última vez, la cosa es que se le mostró la última vez que $ f (n)=log (n) \ cdot \ log (n!) $ es $ \ theTa (2 \ CDOT \ LOG (N) \ CDOT N)=THETA (\ log (n) \ cdot n) $ Pensé que podría Luego usa el tetorem maestro

Sin embargo, desde $ a=frac {2+ \ log n} {1+ \ log n} $ no es una constante, no puedo usar el teorema maestro Pero pensé que podría usar un límite superior para $ a $ , desde $ \ frac {2+ \ log n} {1+ \ log n} <2 \ quad \ forall n $ y luego use el tetorem maestro para $ a= 2 $ , $ b= 2 $ . Pero, ¿puedo usar el teorema maestro después de encontrar un límite superior para el no constante $ a $ ?

¿Qué serían otras formas de mostrar que $ t (n)= o (n ^ 2) $ ?

Answer 1

Sí, puede definir $ t '(n)= 2 t' (\ frac {n} {2}) + \ theta (n \ log n) $ , observe que $ t (n) \ le t '(n) $ y use el tetorem maestro en $T '$ para obtener un límite superior de $ o (n \ log ^ 2 n) $ a $T $ .

Desde para $ n \ ge 2 $ , $ \ frac {2+ \ log n} {1+ \log n} \ le \ frac {3} {2} $ Puede obtener un mejor límite superior al comparar $ t $ a $$ t ''=comienzan {casos} \ frac {3} {2} t '' (\ frac {n} {2}) + \ theta (n \ log n) & \ texto {si $ n \ ge2 $ \\ \ theta (1) & \ texto {de lo contrario} \ final {casos}. $$ aplicando el teorema maestro en $ T '' $ los rendimientos y el límite superior de $ o (n \ log n) $ para $ T $ .

Answer 2

Sí, se le permite usar el teorema del maestro en los límites superiores.

Formalmente, simplemente defina S (n) como la función que tiene los límites superiores (que recursen las llamadas a mismo ) y use el teorema del maestro en S (n).Sabe que S (n) es un límite para T (n) (puede probar esto en la inducción si realmente desea) y, por lo tanto, si logró mostrar que S (N)= O (n ² ) entonces también t (n)= o (n ^{2 )}

Personalmente, nunca expliqué por qué es posible usar el teorema del maestro en los límites superiores, y nunca he visto a nadie intentar explicarlo realmente antes (ya que como ha visto en la explicación, la razón es bastante sencilla)

Espero que logremos ayudar: P