Entscheiden, ob eine Sprache ein Wort einer bestimmten Größe hat

Question

Angenommen, dass $ L $ einige Sprache über dem Alphabet $ \ Sigma $ ist. Ich wurde gebeten, zu zeigen, dass die folgenden Sprachen entschieden werden:

$$ l '={w \ in \ sigma ^ * | \ text {Es gibt ein Word} W '\ in l \ text {so das} | W' | \ leq | w | \} $$

dh $ w \ in l '$ Wenn $ L $ ein Wort mit kleinerer Länge hat als $ | w | $ .

Die Art und Weise, wie ich nachgedacht habe, dass dies beobachtet, dass $ l \ cap \ sigma ^ {| w |} $ ist endlich und $ (l \ cap \ sigma) \ cup (l \ cap \ sigma ^ 2) \ cup \ ldots \ cup (l \ cap \ sigma ^ {| w |}) $ ist endlich Auch auch enttäuschbar. Aber die Hauptsache, mit der ich kämpfe, ist, wie kann jeder Algorithmus für $ l '$ wissen, ob ein $ u \ in l $ ? Dies ist unentschieden, so dass es mir unklar ist, wie jeder Algorithmus für $ l '$ vergewissern kann, dass in der Tat ein Wort in $ ist L $

Answer 1

Es gibt zwei Fälle:

.
1. $ L $ ist leer. In diesem Fall ist $ l '=yeptetet $ Kleinigkeiten differabel.
2. $ L $ ist nicht leer. Lassen Sie $ M $ die Mindestlänge eines Wortes in $ L $ sein. Dann $ l '$ besteht aus allen Längenwörtern mindestens $ M $ , und ist wieder rein legbar (in ständiger Zeit!).

Wie Sie sehen, benötigen Sie niemals einen Algorithmus für $ L $ .

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In ähnlicher Weise ist die folgende Sprache immer entschieden:

$$ l ''={W \ in \ Sigma ^ * \ Mid \ Text {Es gibt ein Wort $ w '\ in L $, so dass $ | W' | \ geq | w | $} \}. $$

Es gibt jetzt drei Fälle:

.
1. $ L $ ist leer. In diesem Fall ist $ l '=yeptetet $ Kleinkressiert.
2. $ L $ ist unendlich. In diesem Fall ist $ l ''=Sigma ^ * $ erneut trivalll entgingbar.
3. $ L $ ist endlich. Lassen Sie $ M $ die maximale Länge eines Wortes in $ L $ sein. Dann $ l '' $ besteht aus allen Längenwörtern in den meisten $ M $ und ist wieder rein entgingbar (in ständiger Zeit).

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Dies sind Beispiele für nicht konstruktive Beweise, die Sie möglicherweise nicht mögen. Anstatt hier eine Diskussion zu starten, beziehe ich Sie auf Diese Frage .