Wie kann ich beweisen, dass ein vollständiger binärer Baum $ lceil n/2 rceil $ Leaves hat?

Question

Bei einem vollständigen binären Baum mit $ n $ Knoten. Ich versuche zu beweisen, dass ein vollständiger binärer Baum genau $ lceil n/2 rceil $ Leaves hat. Ich denke, ich kann das durch Induktion tun.

Für $ h (t) = 0 $ ist der Baum leer. Es gibt also keine Blätter und die Behauptung gilt für einen leeren Baum.

Für $ h (t) = 1 $ hat der Baum 1 Knoten, das auch ein Blatt ist, so dass die Behauptung gilt. Hier stecke ich fest, ich weiß nicht, was ich als Induktionshypothese wählen soll und wie ich den Induktionsschritt durchführen soll.

Answer 1

Wenn die Aussage, die Sie durch die Induktion beweisen möchten, ist

Für alle positiven Ganzzahlen $ n $ hat ein vollständiger binärer Baum mit $ n $ Knoten $ lceil {n/2} rceil $ Leaves.

Dann muss die Induktionshypothese sein

Für alle positiven Ganzzahlen $ k

In ähnlicher Weise ist die Aussage, die Sie durch die Induktion beweisen möchten

Für alle positiven Ganzzahlen $ n $ hat ein Hoosegow mit $ n $ whatsits $ 2^{ lfloor sqrt {n} rceil!} Cdot n^ pi $ nubbleframets.

Dann muss die Induktionshypothese sein

Für alle positiven Ganzzahlen $ k

Answer 2

Erstens könnte es helfen, mit Ihrer Terminologie etwas genauer zu sein. Ich gehe davon aus, dass Sie "vollständig" meinen, wie [CLRS01] es definiert:

Alle Blätter haben die gleiche Tiefe und alle internen Knoten haben Grad 2.

Zweitens, sind diese Hausaufgaben?

Sie können dies mithilfe der strukturellen Induktion beweisen. Zeigen Sie Ihren Anspruch auf einen "Basis" -Baum und denken Sie dann darüber nach, wie andere komplette binäre Bäume aus diesen aufgebaut sind.

Wie steigen die Gesamtzahl der Knoten, wenn Sie auf diese Weise größere Bäume bauen? Wie nimmt die Anzahl der Blätter zu?

Hinweis:

Wird $ lceil n+1 rceil = 2 lceil n/2 rceil $?