多维向量旋转和角度计算——如何进行？

Question

输入：两个多维（例如 dim=8）向量 a 和 b。

我需要找出向量 a 和 b 之间的“定向”角（0-2*Pi，而不是 0-Pi）。如果它们不平行，我需要将向量 b 在平面 a,b 中旋转“定向”角度 L。如果它们平行，平面并不重要，但旋转角度仍然相同L。

对于 2d 和 3d 这很容易，但是对于更多维度我迷失了，我在谷歌上没有找到任何东西，我更喜欢使用一些已经证明和测试过的方程（避免我的计算引入的错误:-D）。

预先感谢您提供提示、链接等。

Answer 1

我相信你应该在向量 a 和 b 生成的平面上工作。无论维度如何，代码都将是相同的（顺便说一句，向量的维度是 根据定义 空间的尺寸）。

您可以通过将 (a,b) 正交化为：

a' = a/||a||
b1 = b - (a'·b)a'  <-- scalar product denoted by ·
b' = b1/||b||

现在您乘坐的飞机具有正交基础，应该可以恢复正常运行。b 在该基础上的坐标是(a'·b,b'·b)。对于 a 来说也是类似的 (||a||,0)。当您想返回到周围空间时，只需将坐标 (x1,x2) 的向量写为 x1 a' + x2 b' 即可。

我希望数学符号不会太混乱。

Answer 2

您可能会发现本文很有用： N 维图形的旋转作者：AJ Hanson. 。还有这篇论文： 一般 n 维旋转. 。你也可以看看这个 论坛主题 一群人试图解决这个问题。这是另一篇论文： 关于n维空间中的刚性旋转概念. 。必须。停止。谷歌搜索。