显示不等式对所有正整数持有
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29-09-2020 - |
题
$ a_1= 2,a_2= 9,a_n= 2a_ {n-1} + 3a_ {n-2} $ for $ n>= 3 $
show $ a_n <3 ^ n $ 对于所有正整数n
基本情况: $ a_3= 2 * 9 + 3 * 2= 24 <= 3 ^ 3 $ 是真的
假设: $ a_k <= 3 ^ k $ for $ k \ epsilon \ mathbb {n} $ ,显示 $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $
开始:
$ a_k <= 3 ^ k $ 暗示 $ 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $
通过定义: $ a_ {k + 1}= 2a_k + 3a_ {k-1} $
$ 2a_k + 3a_ {k-1} <= 2a_k + a_k= 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $
因为 $ 3a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + a_ {k-1}= 2a_ {k-1} + 2a_ {k-2} + 3a_ {k-3} $
$ 3a_ {k-1} $ 将始终小于 $ a_k $ 因为 $ 2a_ {k-2} + 3a_ {k-3} $ 始终小于 $ 3a_ {k-2} $ < / span>
所以因为 $ a_ {k + 1} <= 3a_k $ 和 $ 3a_k <= 3 ^ {k + 1} $ 然后 $ a_ {k + 1} <= 3 ^ {k + 1} $ ,它证明了 $ a_n <= 3 ^ n $ 所有n
是我的证据合法吗?
解决方案
我们不会证明 $ a_k \ geq 3a_ {k-1} $ 因为它不是真的: $$ a_3= 2a_2 + 3a_1= 2 \ cdot 9 + 3 \ cdot 2= 24 <3 \ cdot 9= 3a_2 $$
我们也没有 $ a_k <3 ^ $ 对于所有 $ k $ ,由于 $ A_2= 9= 3 ^ 2 $ 。这可能是一个错字。
让我们通过诱导来证明,对于所有自然的 $ k $ 我们有 $ a_k \ leq 3 ^ k $ 。
我们有那个 $ a_1= 2 \ leq 3= 3 ^ 1 $ 。
假设 $ a_ {k-2} \ leq 3 ^ {k-2} $ 和 $ a_ { K-1} \ LEQ 3 ^ {k-1} $ 。或者您可以假设 $ a_t \ leq 3 ^ t $ 对于所有 $ t
然后 $$ \ begin {aligh} a_k&= 2a_ {k-1} + 3a_ {k-2} \\ &leq 2 \ cdot 3 ^ {k-1} +3 \ cdot 3 ^ {k-2} \\ &= 3 \ cdot 3 ^ {k-1} \\ &= 3 ^ {k} \结束{align} $$
因此, $ a_ {k} \ leq 3 ^ {k} $ 。
通过归纳,对于所有天然 $ k $ 我们有这个 $ a_ {k} \ leq 3 ^ k $ 。