两种功能的产品是否等于他们的BIG-O的产物？

Question

假设 $ f（n）= o（g（n））$ 和 $ l（n）=o（m（n））$

始终是真的， $ f（n）\ cdot l（n）= o（g（n））\ cdot o（m（n））$ ？

Answer 1

根据定义， $ f（n）\ leq c_1 \ cdot g（n）$ 和 $ l（n）\ LEQ C_2 \ CDOT M（n）$ ，对于某些 $ c_1 $ 和 $ n \ geqn_0 $ ，以及一些 $ c_2 $ 和 $ n \ geq n_0' $ 。假设我们设置 $ n_0 ^ *=max（n_0，n_0'）$ ，那么对于 $ n表示满足两者的不等式\ geq n_0 ^ * $ 。然后显然 $ f（n）\ cdot l（n）\ leq c_1 \ cdot g（n）\ cdot c_2 \ cdot m（n）$ $ n \ geq n_0 ^ * $ 。所以索赔确实持有。然而，我们可以拿一个额外的步骤。请注意，我们可以通过新的常量替换 $ c_1 \ cdot c_2 $ ，因此我们得出结论， $ f（n）\ cdot l（n）= o（g（n）\ cdot m（n））$ 。