计数符号的计算复杂性

Question

考虑计数函数 $ \ {x \} ^ * \ lightarrow \ mathbb n $ 计算符号 $ x $ 。

我对计算该函数的（渐近）复杂性感到困惑，其中输出应该在非机构系统（例如二进制）中。我的直觉暗示这应该是线性的，即 $ o（n）$ 其中 $ n $ 是输入中的符号 $ x $ 中的符号的次数。

就我的理解而言，有多种对计算的解释 - 例如，

• 单频带图灵机，我最好的想法已经运行时间 $ \ omega（n ^ 2 \ log n）$ 我认为（ $ \ log n $ 来自二进制后继函数具有 $ \ oomega（n）$ 运行时，其中 $ n $ 是自然数的二进制表示的长度，而 $ n ^ 2 $ 来自假设图灵机必须通过 $ x $ 达到其当前计数），而且
• 多频带图灵机，我认为我有一个运行时的想法 $ \ oomga（n \ log n）$ ，
• 随机访问机器，我根本不知道。

所以我的问题是以下。

各种计算模型中计数功能的计算复杂性是多少？在其中任何一个是线性吗？

如果在所有相关的情况下，我从抽象代数的角度提出，在那里我试图评估某些特定群体中的词问题的计算复杂性。

Answer 1

图灵机是一个很好的模型，具有几个优点，主要是它们的简单性，但它们不是分析算法时的第一选择。通常在RAM机模型上隐式分析算法，在某些情况下，在 BSS Model 。

以下是关于各种型号计数的计算复杂性的一些评论：

单磁带图定型机：这些仅被认为是因为它相对容易证明它们上的下限。它们比多磁带图定型机更加逼真。

多磁带图定型机：它是摊销复杂性的标准示例，即可以使用 $ o（1）$ 摊销比特操作。这是因为一半的时间，只有一个比特变化，四分之一的时间，只有两个比特，等等，对于 $ 1/2 + 2的总数/ 4 + 3/8 + \ cdots= 2 $ 。图灵机复杂性是线性的，因此可以在 $ o（n）$ 中实现计数。

RAM机器： RAM机器由最多寄存器和随机存取存储器组成。寄存器是 $ o（\ log n）$ -bits long，其中 $ n $ 是大小输入。寄存器的合理操作采取不断的时间。特别是，增加可以依赖于 $ \ mathit {poly}（n）$ 的计数器cape $ o（1 ）$ 最坏情况时间。特别是，您的函数将在 $ o（n）$ 中运行。

bss机器：在大数字执行算术时必须小心。在RAM机器上，算术仅在操作数量的幅度为 $ \ mathit {poly}（n）$ 时，才需要恒定的时间。 BSS机器允许访问在某些字段中存储值的特殊寄存器，例如实数。您可以执行恒定时间的算术和比较，但不能像地板这样的功能。您也不允许使用此类值进行索引。 （如果您没有足够限制自己，您将很快解决多项式时间。）您可以将BSS机器视为适应浮点操作，这在实践中取得不断的时间，同时忽略了它们所涉及的有限精度。