如何证明特定模块化算术等效物的特性

Question

自从我被引入模块化算术以来，我有一些麻烦。我认为它使用了我大脑的一部分，即我没有经常使用过。无论如何，我一直在考虑这个特定的等价： $$ a ^ 3 \等式5 \，（\ text {mod} 7）$$ 我有一个亨希，没有 $ a $ 存在s.t.这个等价是真的。模拟它，显然存在图案：6,1,6,6,0，<强> 1,1,6,1,6,6,6,0， 1,1,6,1，1，6,6,0 ...

但我无法弄清楚如何正式证明1.这种模式是实际模式和作为延伸，2.上面的等效性不会阻止（如果我可以证明它应该是微不足道的）。

有人可以帮忙吗？非常感谢。

Answer 1

您可以通过计算 $ a ^ 3 \ bmod 7 $ for $ a= 0， 1,2,3,4,5,6 $ ;如果没有那些产量5，那么你已经证明了索赔。

为什么这足够？嗯，如果 $ a \ Equiv b \ pmod 7 $ ，那么 $ a ^ 3 \等式b ^ 3 \ pmod 7 $ 。所以，如果有任何解决方案 $ a ^ 3 \等式5 \ pmod 7 $ ，那么您可以拍摄 $ b= a \ bmod 7 $ ，这将是另一个解决方案。现在 $ b $ 是 $ 0,1,2,3,4,5,6 $ ，所以我们已经证明，如果有任何解决方案，那么<跨度类=“math-container”一个> $ 0,1,2,3,4,5,6 $ 必须是一个解决方案。相反，如果没有 $ 0,1,2,3,4,5,6 $ 是一个解决方案，那么没有任何解决方案。

对于平方（而不是cubing）的特殊情况，您可能对二次互转性，这是一种更先进的技术，允许检查是否存在于这种等式的解决方案。还有立方互惠，尽管我不确定它是否会导致高效的算法当您有多维数据集而不是正方形时，请检查解决方案。