كيف تحصل على الحد الأدنى من SQRT [3x+1]+SQRT [3y+1]+SQRT [3Z+1]؟

Question

يترك

f[x_,y_,z_] := Sqrt[3x+1]+Sqrt[3y+1]+Sqrt[3z+1]

أرغب في الحصول على الحد الأدنى لـ F لـ X> = 0 && y> = 0 && z> = 0 && x+y+z == 1 باستخدام Mathematica.

ملاحظة: أنا أعرف كيفية الحصول على الحد الأدنى من طريقة الرياضيات:

Since 0<=x<=1,0<=y<=1,0<=z<=1, we have
0<=x^2<=x,0<=y^2<=y,0<=z^2<=z.
Hence,
3a+1 >= a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2, where a in {x,y,z}.
Consequently,
f[x,y,z] >= x+1+y+1+z+1 = 4,
Where the equality holds if and only if (x==0&&y==0||z==1)||...

PS2: كنت أتوقع أن يعمل الرمز التالي ، لكنه لم يفعل ذلك.

Minimize[{f[x,y,z],x>=0&&y>=0&&z>=0&&x+y+z==1},{x,y,z}]

في الواقع ، كما يشير سيمون ، فإنه يعمل ... وقت التشغيل أطول مما كنت أتوقع وأغلقته قبل أن تريني Mahtematica النتيجة.

Answer 1

هل هذا ما تريد؟

In[1]:= f[x_,y_,z_]:=Sqrt[3x+1]+Sqrt[3y+1]+Sqrt[3z+1]
In[2]:= Minimize[{f[x,y,z],x>=0,y>=0,z>=0,x+y+z==1},{x,y,z}]
Out[2]= {4,{x->1,y->0,z->0}}

لاحظ أن الوثائق تقول "حتى لو تم تحقيق نفس الحد الأدنى في عدة نقاط ، يتم إرجاع واحد فقط"لذلك سيكون عليك فرض تماثل التقليب للمشكلة بنفسك.

---

ملاحظة: يمكنك تحويل هذا إلى مشكلة مضاعفة Lagrange

In[3]:= Thread[D[f[x,y,z] - \[Lambda](x+y+z-1), {{x,y,z,\[Lambda]}}]==0];
        Reduce[Join[%,{x>=0,y>=0,z>=0}],{x,y,z,\[Lambda]},Reals]
        {f[x,y,z],D[f[x, y, z], {{x, y, z}, 2}]}/.ToRules[%]
Out[4]= x==1/3&&y==1/3&&z==1/3&&\[Lambda]==3/(2 Sqrt[2])
Out[5]= {3 Sqrt[2],{{-(9/(8 Sqrt[2])),0,0},{0,-(9/(8 Sqrt[2])),0},{0,0,-(9/(8 Sqrt[2]))}}}

وانظر إلى أن النقطة الثابتة الوحيدة هي الحد الأقصى عند x = y = z = 1/3. وبالتالي يجب أن يكون الحد الأدنى على الحدود. يمكنك بعد ذلك استخدام رمز مماثل ولكن يقتصر على الحدود للعثور في النهاية على النتيجة الصحيحة.

Answer 2

فقط للمتعة ، هذه مؤامرة للحل الذي قدمه سيمون:

f[x_, y_, z_] := Sqrt[3 x + 1] + Sqrt[3 y + 1] + Sqrt[3 z + 1]
g1 = ContourPlot3D[f[x, y, z] == 4, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, AxesLabel -> {x,y,z}, MeshFunctions -> {#3 &}, ContourStyle -> {Blue, Opacity[0.5]}];
g2 = ContourPlot3D[ x + y + z == 1, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, AxesLabel -> {x,y,z}, MeshFunctions -> {#2 &}, ContourStyle -> {Green, Opacity[0.5]}];
Show[g1, g2, Graphics3D[{PointSize[0.05], Red, Point[{1, 0, 0}]}], ViewPoint -> {1.1`, -2.4`, 1.7`}]

Answer 3

أنت تقول إنك لست مهتمًا بـ "طريقة الرياضيات" (لست متأكدًا مما يدور في ذهنك عندما تقول ذلك ، لكن هذا يجعلني أفكر في طرق التقليل مع مضاعفات Lagrange). إذا كان هذا صحيحًا ، فلماذا تجلب الرياضيات إلى المناقشة؟ ما رأيك في استخدامه؟

سأفترض أنك تعني حلول الكمبيوتر العددية. سأبدأ بالبرمجة الخطية وطريقة Simplex.